Урок –экскурсия

по математике на тему: «Древнерусская система счисления»

Цели урока:

Обучающие:

Ознакомить учащихся с историческими сведениями о древнерусской системе счисления;

Проиллюстрировать учащимся древнерусскую систему счисления;

Развивающие:

Развитие у школьников познавательного интереса и математической речи;

Развитие умений систематизировать и обобщать данный материал;

Воспитывающие:

Воспитать дух соперничества;

Воспитать дисциплину труда;

Формирование навыков самоорганизации.

Ход занятия:

Организационный момент

Здравствуйте, ребята. Сегодня мы познакомимся с древнерусской системой счисления, рассмотрим ее особенности и недостатки, а так же по окончанию мероприятия напишем тест с целью проверки ваших знаний по данной теме, поэтому слушайте меня внимательно, я на основных моментах буду останавливаться.

1. Историческая справка:

Система счисления (нумерация лат. numeratio ) - метод обозначения чисел посредством знаков - цифр, или слов. Система обозначения, основанная на цифрах - письменная нумерация. Система обозначения, основанная на словах - словесная нумерация.

У наших древних предков тоже была своя древнерусская – алфавитная система счисления. В качестве цифр наши предки использовали 27 букв кириллицы , только над ними для отличия, ставили специальный знак – ТИТЛО.

А число 10000 обозначалось той же буквой, что и 1, только без титло, её обводили кружком и число называли “ТЬМОЙ”.

Самая большая из величин называлась “КОЛОДА” и она равнялась 1050, считалось, что “БОЛЕЕ СЕГО НЕСТЬ ЧЕЛОВЕЧЕСКОМУ УМУ РАЗУМЕВАТИ”.

Древнерусская нумерация

Кириллическая система счисления

Кириллическая система счисления - система счисления Древней Руси, основанная на алфавитной записи чисел с использованием кириллицы или глаголицы.

В основных чертах повторяет греческую систему счисления.

Использовалась в России до начала XVIII века, когда была заменена на систему счисления, основанную на арабских цифрах.

В настоящее время используется в книгах на церковнославянском языке.

Часы с использованием кириллицы

Большинство букв древнерусского алфавита имели числовое соответствие. Так, буква «Аз» означала «один», «Веди» - «два»... Некоторые буквы числовых соответствий не имели. Числа писались и произносились слева направо за исключением чисел от 11 до 19 (например, 17 - семнадцать).

По такому же принципу строилась глаголическая система счисления, в которой использовались буквы глаголицы.

В начале XVIII века иногда применялась смешанная система записи чисел, состоящая и из кириллических, и из арабских цифр. Например, на некоторых медных копейках отчеканена дата 17К1 (1721).

Особенности кириллической системы счисления

Для записи чисел использовались почти исключительно строчные буквы.

Числовое значение 5 первоначально несла обычная буква «е», но позже стал применяться ее так называемый «длинный» вариант, из которого впоследствии развилась украинская буква «є».

Для числового значения 6 в древности применялась как обычная буква «зело» (ѕ), так и зеркально перевернутая.

Буква «і» в числовом употреблении точек не имеет.

Для числового значения 60 обычно применяется не обычная буква «о», а ее так называемый «широкий» вариант (в Юникоде по недоразумению названный «круглой омегой», англ. round omega).

Значение 90 в самых древних кириллических текстах выражала не буква «ч», а заимствованный из греческого знак «коппа» ( ҁ ).

Значение 400 в древности выражала буква «ижица ( ѵ )», позже так называемый «ик» - у-образный знак, используемый только как числовой и в составе диграфа «ук» («оу»). Использование в числовом значении «ика» характерно для российских изданий, а «ижицы» - для старопечатных украинских, позднейших южнославянских и румынских.

В значении 800 могла применяться как «голая омега (ѡ )», так и (чаще) составной знак «от (ѿ )»; подробнее см. статью «Омега (кириллица)».

Значение 900 в древности выражалось «малым юсом» (ѧ ), несколько похожим на соответствующую греческую букву «дисигма» (Ϡ ); позже в этом значении стала применяться буква «ц».

Древнерусская нумерация

Тысячи

Для обозначения тысяч слева от соответствующей букво-цифры писалась маленькая диагональ влево вниз и на ней две маленькие черточки - ҂ (U+0482).

Примеры:

- 1706 год;

- 7118 год по летосчислению «от сотворения мира» (1610 год от Рождества Христова).

Десятки и сотни тысяч, миллионы

Большие числа (десятки и сотни тысяч, миллионы и миллиарды) могли выражаться не через знак « ҂ », а специальным образом обведенной буквой, использовавшейся для обозначения единиц. Впрочем, для больших чисел эти обозначения были довольно нестабильны.

Тьма

Для обозначения тьмы буква обводилась сплошной окружностью.

Малый счёт - десять тысяч (104) или сто тысяч (105);

Великий счёт - миллион (106, тьма великая).

Тьма тем:

Великий счёт - миллион миллионов (1012, тьма великая).

В малом счёте число служило последним пределом естественного (соотносимого с какой-либо деятельностью) счёта. Тьма тьмущая - бесконечное количество, неисчислимое множество.

От слова тьма произошло воинское звание темник - крупный военачальник. Темником был, например, Мамай.

Аналогичными наименованиями являются тумэн и мириада.

Легион (неведий)

Для обозначения легиона (неведия) буква обводилась в кружок из точек.

Малый счёт - сто тысяч (105);

Великий счёт - миллион миллионов (1012).

Леодр

Для обозначения леодра буква обводилась в кружок из черточек.

Малый счёт - миллион (106);

Великий счёт - легион легионов (1024).

Вран (ворон)

Для обозначения врана (ворона) буква обводилась в кружок из крестиков или запятых.

Малый счёт - десять миллионов (107);

Великий счёт - леодр леодров (1048).

Колода

Самое большое число - колода. Буква заключалась в квадратные скобки, но не справа и слева, как у обычных букв, а сверху и снизу. Плюс справа и слева ставились два ромбика.

Малый счёт - сто миллионов (108);

Великий счёт - десять воронов (1049).

Расположение по порядку Пример

Тестовая работа

Инструкция по выполнению тестовой работы:

Из ниже 15 предложенных заданий выбрать только один правильный ответ и обвести правильный ответ в кружок. Все ответы занести в таблицу:

Номер

задания

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Ответы

Критерии оценивания:

За каждое правильно выполненное задание ставится 1 балл.

Отметка «5» ставится, если правильно выполнено от 14-15 баллов

Отметка «4» ставится, если правильно выполнено от 12-13 баллов

Отметка «3» ставится, если правильно выполнено от 10-11 баллов

Отметка «2» ставится, если правильно выполнено от 9 баллов и ниже

Номер

задания

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Ответы

Какая буква в числовом употреблении точек не имеет:

а) ” i ”;

б) ” k ”;

в) ” o ”?

2. Система счисления - это обозначение чисел посредствам знаков:

а) цифр;

б) слов;

в) цифр или слов.

3. Сколько букв в кириллице использовали наши предки в качестве цифр:

а) 26;

б) 37;

в) 27?

4. Что такое «титло»:

а) специальный знак для отличия букв от цифр;

б) специальный знак для отличия цифр от букв;

в) специальный знак для отличия цифр от чисел?

5. Как называлась самая большая величина:

а) тьма;

б) колода;

в) легеон?

6. Как называлась система счисления Древней Руси:

а) кириллическая;

б) ионийская;

в) индо-арабская?

7. Какой буквы из современного русского алфавита не хватает в древнерусской нумерации:

а) А;

б) Б;

в) В?

8. Первоначальное числовое значение «5» несла какая буква:

а) «е»;

б) «»;

в) « s ».

9. «Ижица (v)»- это значение числа:

а) 800;

б) 600;

в) 400.

10. Каким символом обозначается «леодр»:

а) ;

б) ;

в) ?

11. Число 539 переведите на древнерусскую нумерацию:

а) ФЛО;

б) ФЛО;

в) ФЛО.

12. Какое из следующих расположений нумерации-по возрастанию:

а) тьма, легеон, леодр, колода, тысяща, ворон;

б) тысяща, тьма, леодр, ворон, колода, легеон;

в) тысяща, тьма, легеон, леодр, ворон, колода?

13. Какой символ из древнерусской нумерации обозначает «неведи»:

а) тьма;

б) легеон

в) колода?

14. «Ворон» еще в древнерусской нумерации обозначают как:

а) вран;

б) врон;

в) врун?

15. Значение какого числа использует греческий знак «копа»:

а) 80;

б) 90;

в) 100?

Подведение итогов:

Вы сегодня работали хорошо, справились с поставленными перед вами целями, а также показали хорошие знания по теме «Древнерусская система счисления». За работу на уроке вы получаете следующие оценки (объявляются оценки каждого ученика за работу на уроке).

Спасибо всем за хорошую работу. Молодцы!

Для счета и записи использовались славянские цифры. В этой счетной системе применялись символы в последовательном порядке азбуки. Во многом она схожа с греческой системой написания цифровых символов. Славянские цифры - это обозначение чисел с помощью букв древних алфавитов -

Титло - специальное обозначение

Многие древние народы для написания цифр использовали буквы из своих алфавитов. Славяне не стали исключением. Они обозначали славянские цифры буквами из кириллицы.

Для того чтобы отличить букву от цифры, использовался специальный значок - титло. Все славянские цифры имели его над буквой. Символ пишется сверху и представляет собой волнистую линию. В качестве примера приведено изображение первых трех чисел в старославянском обозначении.

Этот знак используется и в других древних системах счета. Он только незначительно меняет свою форму. Изначально такой вид обозначения пришел от Кирилла и Мефодия, поскольку нашу азбуку они разработали на основе греческой. Титло писалось как с более округлыми краями, так и с острыми. Оба варианта считались правильными и использовались повсеместно.

Особенности обозначения цифр

Обозначение цифр на письме происходило слева направо. Исключение составляли числа с "11" до "19". Они писались справа налево. Исторически это сохранилось в названиях современных числительных (один-на-дцать, две-на-дцать и т. д., то есть первой стоит буква, обозначающая единицы, второй - десятки). Каждая буква алфавита обозначала цифры с 1 до 9, с 10 до 100 до 900.

Не все буквы славянского алфавита применялись для обозначения цифр. Так, "Ж" и "Б" не использовались для нумерации. Их просто не было в греческом алфавите, который был принят в качестве образца). Также отсчет начинался с единицы, а не с привычного для нас нуля.

Иногда на монетах использовалась смешанная система обозначения цифр - из кириллицы и Чаще всего использовались только строчные буквы.

Когда славянские символы из алфавита обозначают цифры, некоторые из них меняют свою конфигурацию. Например, буква "i" в этом случае пишется без точки со знаком "титло" и означает 10. Цифра 400 могла быть написана двумя способами, в зависимости от географического положения монастыря. Так, в старорусских печатных летописях характерно для этой цифры использование буквы "ика", а в староукраинских - "ижицы".

Что такое славянские цифры?

Наши предки с помощью специальноых обозначений писали даты и необходимые числа в летописях, документах, монетах, письмах. Сложные числа до 999 обозначались несколькими буквами подряд под общим знаком "титло". Например, 743 на письме позначалось следующими буквами:

• З (земля) - "7";
• Д (добро) - "4";
• Г (глаголь) - "3".

Все эти буквы объединялись под общим значком.

Славянские цифры, которые обозначали 1000, писались со специальным знаком ҂. Его ставили перед нужной буквой с титло. Если необходимо было написать числительное больше 10 000, использовались специальные знаки:

• "Аз" в круге - 10 000 (тьма);
• "Аз" в круге из точек - 100 000 (легион);
• "Аз" в круге, состоящем из запятых - 1 000 000 (леодр).

В эти круги помещается буква с необходимым цифровым значением.

Примеры использования славянских цифр

Такое обозначение можно было встретить в документации и на древних монетах. Первые подобные цифры можно увидеть на петровских серебрянных монетах в 1699 году. С таким обозначением они чеканились 23 года. Эти монеты сейчас относятся к раритетам и очень ценятся среди коллекционеров.

На золотых монетах символы набивались 6 лет, с 1701 года. Монеты из меди со славянскими цифрами были в обиходе с 1700 по 1721 год.

В древние времена церковь имела огромное влияние на политику и жизнь общества в целом. Для записи приказов и летописей также использовались церковно-славянские цифры. Они обозначались на письме по такому же принципу.

Обучение детей также происходило при церквях. Поэтому ребята учились правописанию и счету именно по изданиям и летописям с использованием церковнославянских букв и цифр. Это обучение проходило достаточно непросто, так как обозначение больших чисел несколькими буквами нужно было просто заучивать наизусть.

Все государевы указы также писались с использованием славянских цифр. Писари того времени были обязаны не только знать наизусть всю азбуку глаголицы и кириллицы, но и обозначение абсолютно всех цифр и правила их написания. Обычные жители государства часто этому были ненаучены, ведь грамота была привилегией очень немногих.

До того как были придуманы специальные символы, чтобы обозначать цифры, большинство народов использовали в этих целях буквы своих алфавитов. Древние славяне тому не исключение.
У них отдельная буква соответствовала каждой цифре (от 1 до 9), каждому десятку (от 10 до 90) и каждой сотне (от 100 до 900). Числительные писались и произносились слева направо, за исключением числительных от 11 до 19 (например, 17 — сем-на-дцать).
Для того чтобы читающий понимал, что перед ним цифры, применяли специальный знак - титло. Изображался он в виде волнистой линии и помещался над буквой. Пример:

Такой знак называется «аз под титло» и означает единицу.
Стоит отметить, что не все буквы алфавита могли быть использованы в качестве цифр. Например, «Б» и «Ж» в цифры не обращались, т.к. их не было в древнегреческой азбуке, которая лежала в основе цифровой системы. Кроме того в качестве цифр выступали буквы, которых нет в нашем современном алфавите - «кси» и «пси». Для современного человека так же может показаться необычным, что в счетном ряду не было привычного всем нуля.

Если требовалось написать число больше 1000, перед ним писали специальный знак тысячи в виде наклонной черты, перечеркнутой в двух местах. Пример написания чисел 2000 и 200 000:

Чтобы получить еще большие величины, использовались другие методы:

Аз в круге - тьма, или 10 000.
Аз в точечном круге - легион, или 100 000.
Аз в кружке из запятых - леодор, или 1 000 000.

Даты на петровских монетах

На золотых петровских монетах даты в славянском счете появились в 1701 году и проставлялись до 1707 года включительно.
На серебряных - с 1699 по 1722 год.
На медных - с 1700 по1721 год.
Даже после введения Петром I арабских цифр на монетах еще долго чеканились даты под титло. Иногда граверы смешивали в дате арабские и славянские цифры. Например, на монетах 1721 года можно встретить следующие варианты дат: 17КА и 17К1.

Обозначение дат буквами на старых русских монетах.

Основной предпосылкой для всех математических знаний служит нумерация, которая у разных древних народов имела различный вид. По-видимому, все народы вначале обозначали числа зарубками на палочках, которые у русских назывались бирками. Такой способ записей долговых обязательств или налогов применялся малограмотным населением разных стран. На палочке делали нарезы, соответствующие сумме долга, или налога. Палочку раскалывали пополам: одну половину оставляли у должника или у плательщика, другую хранили у заимодавца или в казначействе. При расплате обе половинки проверяли складывание.

С появлением письменности, появились и цифры для записи чисел. Сначала эти цифры напоминали зарубки на палках, затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10.

В то время почти все нумерации были не позиционными, а похожими на римскую нумерацию. Однако, за несколько столетий до новой эры изобрели новый способ записи чисел, при котором цифрами служили буквы обычного алфавита.

В одной из русских рукописей XVII века читаем мы следующее: «...знай же то, что есть сто и что есть тысяща, и что есть тьма, и что есть легион, и что есть леодр...», «...сто есть десятью десять, а тысяща есть десять сот, а тьма есть десять тысящ, а легион есть десять тем, а леодр есть десять легионов...».

В то время, как в странах Западной Европы пользовались римской нумерацией, в древней России, находившейся подобно другим славянским странам в тесном культурном общении с Византией, получила распространение алфавитная нумерация, сходная с греческой.

В древнерусской нумерации числа от 1 до 9, затем десятки и сотни изображались последовательными буквами славянского алфавита (именно, так называемой кириллицы, введенной в IX в.).

Из этого общего правила были некоторые исключения: 2 обозначалось не второй по счету буквой "буки", а третьей "веди", так как буква 3 (древняя бета, византийская вита) передавалась по-старорусски звуком "в". "Фита", стоящая на конце славянского алфавита, обозначала, как греческая 0 (древняя тэта, византийская фита), число 9, а 90 обозначалось буквой "червь" (у греков использовалась для этой цели буква "копиа", отсутствовавшая в живом греческом алфавите). Не использовались отдельные буквы. Для указания же того, что знак является не буквой, а цифрой, сверху над ним ставили специальный знак «~», называемый титло. Вот, например, как записывались первые девять чисел:

Десятки тысяч назывались «тьмы», их обозначали, обводя знаки единиц кружками, например, числа 10 000, 20 000, 50 000 соответ­ственно записывались следующим образом:

Отсюда и произошло название «Тьма народу», т. е. очень много народу. Сотни тысяч назывались «легионами», их обозначали, обводя знаки, единиц кружками из точек. Например, числа 100 000, 200 000 соответственно имели обозначение

Миллионы назывались «леодрами». Их обозначали, обводя знаки единиц кружками из лучей или запятых. Так, числа 106 и 2 106 обозначались соответственно

Сотни миллионов назывались «колодами». «Колода» имела специальное обозначение: над буквой и под буквой ставились квадратные скобки.

Числа от 11 до 19 обозначались так:

Остальные числа записывались буквами слева направо, например, числа 544 и 1135 имели соответственно обозначения

При записи больших чисел, чем тысячи, в практической деятель­ности (счете, торговле и т. д.) часто вместо «кружков» знак «≠ » стави­ли перед буквами, обозначавшими десятки и сотни, например, запись

означает числа соответственно 500 044 и 540 004.

В приведенной системе обозначения чисел не шли дальше тысяч миллионов. Такой счет назывался «малый счет». В некоторых рукописях авторами рассматривался и «великий счет», доходивший до числа 1050. Далее говорилось: «И более сего несть человеческому уму разумети». Современная математика использует индийскую нумерацию. На Руси индийские цифры стали известны в начале XVIIв.

Это действительно очень интересный вопрос. Однако надо помнить, что Успенский предлагает очень убедительную, но модель. Кроме этого взгляда на этимологию числительного, также есть и модель М. Фасмера. Обратимся к его словарной статье.

род. п. -а́, укр. со́рок, др.-русск. сорокъ "сорок" (РП, Ипатьевск. летоп.), "связка из 40 собольих шкур" (часто в грам. ХIV–ХV вв.; см. Срезн. III, 465 и сл.). Из русск. заимств. польск. sоrоk "связка из 40 собольих шкур" (XVI–XVII вв.; см. Брюкнер 507). Это русск. слово сменило более древнее четыре десѧте.

Часто объясняется как заимств. из греч. (τε)σσαρακοντα [(тэ)ссарАконта - прим.] "сорок", откуда нов.-греч. σαράντα [сарАнта - прим.], или же из греч. τεσσαρακοστή [тэссараконтИ - прим.], ср.-греч. σαρακοστή [сараконтИ - прим.] "сорокадневный пост"; см. Мi. ЕW 316 и сл.; Брюкнер, там же; Ягич, AfslPh 31, 233; Вакернагель, Nachr. d. Gött. Ges. d. Wiss., 1904; Geschäftl. Мitt. 104; Мурко, WuS 2, 134 и сл. Эта этимология не учитывает др.-русск. знач. "связка собольих шкур". Объяснение из позднегреч. σαράκοντα "40" наталкивается на трудности в связи с ранним выпадением -ко- в греч. слове (уже в IХ в.; см. Хацидакис, Einl. 150). Поэтому, вероятно, следует предположить связь с соро́чка в подражание др.-сканд. serkr "рубаха", а также "200 шкур" (Фальк–Торп 959); см. Рожнецкий–Педерсен, KZ 39, 369 и сл.; Фасмер, KZ 41, 155 и сл.; Гр.-сл. эт. 188; RS 5, 121; Грюненталь, AfslPh 42, 318; Кипарский 100; Штайнхаузер, "Slavistična Revija", 3, 286. Что касается знач., то Грюненталь приводит слвц. meru "сорок" из венг. mérő "мешок". В др.-сканд. системе счета 1 serkr = 5 тимбров (timbr), 1 тимбр = сорок шкур. Согласно Э. Шрёдеру, "история денежных единиц – это, как правило, история снижения их стоимости".

(Тем не менее, изложенные этимологии не могут удовлетворить. Не исключена возможность, что со́рок восходит к др.-вост.-слав. *съркъ, заимств. из тюрк.; ср. тур. kirk "сорок", с диссимиляцией k – k > s – k; ср., возм., собака < тюрк. köbäk; ср. еще кара́сь, относительно которого см. выше, дополнения, и Мошинский, JР, 39, 1959, стр. 5 и сл. К истории этого числительного см. также Карпенко, Науковi Зап. Чернiвецьк. унiв., 31, 1958, стр. 23 и сл.; Енсен, Wiss. Zschr. d. Univ. Rostock, Gesellschafts- u. sprwiss. R. 1, 1951–1952, Н. 2, стр. 21–24. – Т.)

Как мы видим, все довольно запутанно. Что можно сказать, так это что греческое происхождение неубедительно, т.к. и правда не учитывает значения "связка собольих шкур", плюс -ко- отпадает довольно рано. Кроме значения слова "сорок" из связки собольих шкур, Фасмер также предполагает заимствование из скандинавских систем счета денег и из тюркской системы числительных. В пользу скандинавской версии говорит сходные с древнерусским значения слова serkr (рубаха и 200 шкур).