Механические колебания – это движения, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени. (например, колебание ветки на дереве, маятника часов, автомобиля на рессорах и так далее )
Колебания бывают свободными и вынужденными .
Колебания, возникающие в системе под действием внутренних сил, называются свободными . Все свободные колебания затухают. (например: колебание струны, после удара )
Колебания, совершаемые телами под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными (например: колебание металлической заготовки при работе кузнеца молотом ).
Условия возникновения свободных колебаний :
- При выведении тела из положения равновесия в системе должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия;
- Силы трения в системе должны быть очень малы (т.е. стремиться к нулю).
… Е кин → Е р → Е кин →…
На примере колебаний тела на нити видим превращение энергии . В 1 положении наблюдаем равновесие колебательной системы. Скорость и, следовательно, кинетическая энергия тела максимальны. При отклонении маятника от положения равновесия он поднимается на высоту h относительно нулевого уровня, следовательно, в точке А маятник обладает потенциальной энергией Е р . При движении к положению равновесия, к точке О, уменьшается высота до нуля, а скорость груза увеличивается, и в точке О вся потенциальная энергия Е р превратится в кинетическую энергию Е кин . В положении равновесия кинетическая энергия имеет максимальное значение, а потенциальная энергия минимальна. После прохождения положения равновесия по инерции происходит превращение кинетической энергии в потенциальную, скорость маятника уменьшается и при максимальном
(или собственные колебания ) — это колебания колебательной системы, совершаемые только благодаря первоначально сообщенной энергии (потенциальной или кинети-ческой) при отсутствии внешних воздействий.
Потенциальная или кинетическая энергия может быть сообщена, например, в механических системах через начальное смещение или начальную скорость.
Свободно колеблющиеся тела всегда взаимодействуют с другими телами и вместе с ними обра-зуют систему тел, которая называется колебательной системой .
Например, пружина, шарик и вертикальная стойка, к которой прикреплен верхний конец пружины (см. рис. ниже), входят в колебательную систему. Здесь шарик свободно скользит по струне (силы трения пренебрежимо малы). Если отвести шарик вправо и предоставить его самому себе, он будет совершать свободные колебания около положения равновесия (точки О ) вследствие действия силы упругости пружины, направленной к положению равновесия.
Другим классическим примером механической колебательной системы является математический маятник (см. рис. ниже). В данном случае шарик совершает свободные колебания под действием двух сил: силы тяжести и силы упругости нити (в колебательную систему входит также Земля). Их равнодействующая направлена к положению равновесия.
Силы, действующие между телами колебательной системы, называются внутренними силами . Внешними силами называют-ся силы, действующие на систему со стороны тел, не входящих в нее. С этой точки зрения свобод-ные колебания можно определить как колебания в системе под действием внутренних сил после того, как система выведена из положения равновесия.
Условиями возникновения свободных колебаний являются:
1) возникновение в них силы, возвращающей систему в положение устойчивого равновесия, после того как ее вывели из этого состояния;
2) отсутствие трения в системе.
Динамика свободных колебаний.
Колебания тела под действием сил упругости . Уравнение колебательного движения тела под действием силы упругости F () может быть получено с учетом второго закона Ньютона (F = mа ) и закона Гука (F упр = -kx ), где m — масса шарика, а — ускорение, приобретаемое шариком под действием силы упругости, k — коэффициент жесткости пружины, х — смещение тела от положения равновесия (оба уравнения записаны в проекции на горизонтальную ось Ох ). Приравнивая правые части этих уравнений и учитывая, что ускорение а — это вторая производная от координаты х (смещения), получим:
.
Аналогично выражение для ускорения а получим, дифференцируя (v = -v m sin ω 0 t = -v m x m cos (ω 0 t + π/2) ):
a = -a m cos ω 0 t,
где a m = ω 2 0 x m — амплитуда ускорения. Таким образом, амплитуда скорости гармонических коле-баний пропорциональна частоте, а амплитуда ускорения — квадрату частоты колебания.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Колебательное движение – это движение, точно или приблизительно повторяющееся через одинаковые промежутки времени, при котором тело многократно и в разных направлениях проходит положение .
Колебательное движение наряду с поступательным и вращательным является одним из видов .
Физическая система (или тело), в которой при отклонении от положения равновесия возникают колебания, называется колебательной системой. На рис.1 представлены примеры колебательных систем: а) нить + шарик + Земля; б) груз + пружина; в) натянутая струна.
Рис.1. Примеры колебательных систем: а) нить + шарик + Земля; б) груз + пружина; в) натянутая струна
Если в колебательной системе отсутствуют потери , связанные с действием , то колебания будут продолжаться бесконечно долго. Такие колебательные системы называются идеальными. В реальных колебательных системах всегда существуют потери энергии, обусловленные силами сопротивления, в результате чего колебания не могут продолжаться бесконечно долго, т.е. являются затухающими.
Свободные колебания – это колебания, возникающие в системе под действием внутренних сил. – колебания, возникающие в системе под действием внешней периодической .
Условия возникновения свободных колебаний в системе
- система должна находиться в положении устойчивого : при отклонении системы от положения равновесия должна возникать сила, стремящаяся вернуть систему в положение равновесия — возвращающая ;
- наличие у системы избыточной механической энергии по сравнению с ее энергией в положении равновесия;
- избыточная , полученная системой при смещении ее из положения равновесия, не должна быть полностью израсходована на преодоления сил трения при возвращении в положение равновесия, т.е. в системе должны быть достаточно малы.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Какие из приведенных движений являются примером механических колебаний: а) движение крыльев стрекозы; б) движение парашютиста, опускающегося на землю; в) движение Земли вокруг Солнца; г) движение травы на ветру; д) движение шарика на дне сферической чаши; ж) движение качелей? В каких случаях колебания являются вынужденными и почему? |
| Ответ | Примером являются следующие случаи: а) движение крыльев стрекозы; г) движение травы на ветру; д) движение шарика на дне сферической чаши; ж) движение качелей. Во всех этих случаях тела совершают движения, повторяющиеся во времени, проходя одни и те же положения в прямом и в обратном порядке. Земля, оборачиваясь вокруг Солнца, совершает повторяющееся движение, однако она не меняет направление своего движения, поэтому случай в) движение Земли вокруг Солнца; не является примером механических колебаний.
Вынужденными колебаниями являются случаи а) движение крыльев стрекозы; и г) движение травы на ветру. В обоих случаях колебания совершаются под действием внешней силы (в первом случае – силы мышц стрекозы, во втором случае – силы ветра). В случае ж) движение качелей колебания будут вынужденными, если время от времени раскачивать качели. Если же вывести качели из положения равновесия и отпустить, колебания будут свободными. |
ПРИМЕР 2
| Задание | Колебания каких из приведенных ниже тел будут свободными: а) поршень в цилиндре двигателя; б) игла швейной машины; в) ветка дерева после того, как с нее слетела птица; г) струна музыкального инструмента; д) конец стрелки компаса; е) мембрана телефона при разговоре; ж) чаши рычажных весов? |
| Ответ | Колебания будут свободными в случаях: в) ветка дерева после того, как с нее слетела птица; г) струна музыкального инструмента; д) конец стрелки компаса и ж) чаши рычажных весов. Во всех этих случаях внешнее усилие только выводит систему из положения равновесия, колебания же в системе совершаются под действием внутренних сил. В случаях в), и г) это силы упругости, в случае д) – сила со стороны магнитного поля Земли в случае ж) – это |
ОК-1 Механические колебания
Механические колебания - это движения, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени.
Вынужденные колебания - это колебания, которые происходят под действием внешней, периодически изменяющейся силы.
Свободные колебания - это колебания, которые возникают в системе под действием внутренних сил, после того как система была выведена из положения устойчивого равновесия.
Колебательные системы
Условия возникновения механических колебаний
1. Наличие положения устойчивого равновесия, при котором равнодействующая равна нулю.
2. Хотя бы одна сила должна зависеть от координат.
3. Наличие в колеблющейся материальной точке избыточной энергии.
4. Если вывести тело из положения равновесия, то равнодействующая не равна нулю.
5. Силы трения в системе малы.
Превращение энергии при колебательном движении
В неустойчивом равновесии имеем: E п →E к →E п →E к →E п.
За полное колебание
.
Выполняется закон сохранения энергии.
Параметры колебательного движения
1
.
Смещениех
- отклонение колеблющейся
точки от положения равновесия в данный
момент времени.
2. Амплитудах 0 - наибольшее смещение от положения равновесия.
3. ПериодТ - время одного полного колебания. Выражается в секундах (с).
4. Частотаν - число полных колебаний за единицу времени. Выражается в герцах (Гц).
,
;
.
Свободные колебания математического маятника
Математический маятник – модель – материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити.
Запись движения колеблющейся точки как функции времени.
В
ыведем
маятник из положения равновесия.
Равнодействующая (тангенциальная)F
т = –mg
sinα
,
т. е.F
т – проекция
силы тяжести на касательную к траектории
тела. Согласно второму закону динамикиma
т =F
т.
Так как уголα
очень
мал, тоma
т =
–mg
sinα
.
Отсюда a т =g sinα ,sinα =α =s /L ,
.
Следовательно, a ~s в сторону равновесия.
Ускорение а материальной точки математического маятника пропорционально смещению s .
Таким образом, уравнение движения пружинного и математического маятников имеют одинаковый вид: а ~ х .
Период колебания
Пружинный маятник
Предположим, что собственная частота
колебаний тела, прикрепленного к пружине,
.
Период свободных колебаний
.
Циклическая частота ω = 2πν .
Следовательно,
.
Получаем
,
откуда
.
Математический маятник
С
обственная
частота математического маятника
.
Циклическая частота
,
.
Следовательно,
.
Законы колебаний математического маятника
1. При небольшой амплитуде колебаний период колебания не зависит от массы маятника и амплитуды колебаний.
2. Период колебания прямо пропорционален корню квадратному из длины маятника и обратно пропорционален корню квадратному из ускорения свободного падения.
Гармонические колебания
П
ростейший
вид периодических колебаний, при которых
периодические изменения во времени
физических величин происходят по закону
синуса или косинуса, называют гармоническими
колебаниями:
x =x 0 sinωt илиx =x 0 cos(ωt + φ 0),
где х - смещение в любой момент времени;х 0 - амплитуда колебаний;
ωt + φ 0 - фаза колебаний;φ 0 - начальная фаза.
Уравнение x =x 0 cos(ωt + φ 0), описывающее гармонические колебания, является решением дифференциального уравненияx " +ω 2 x = 0.
Дважды продифференцировав это уравнение, получим:
x " = −ω 0 sin(ωt + φ 0),x " = −ω 2 x 0 cos(ωt + φ 0),ω 2 x 0 cos(ωt + φ 0) −ω 2 x 0 cos(ωt + φ 0).
Если какой-либо процесс можно описать
уравнением x
"
+ω
2 x
= 0, то совершается гармоническое колебание
с циклической частотойω
и периодом
.
Таким образом, при гармонических колебаниях скорость и ускорение также изменяются по закону синуса или косинуса .
Так, для скорости v x =x " = (x 0 cosωt )" =x 0 (cosωt )" , т.е.v= −ωx 0 sinωt ,
или v=ωx 0 cos(ωt +π /2) =v 0 cos(ωt +π /2), гдеv 0 =x 0 ω - амплитудное значение скорости. Ускорение изменяется по закону:a x =v" x =x " = −(ωx 0 sinωt )" = −ωx 0 (sinωt )" ,
т.е. a = −ω 2 x 0 cosωt =ω 2 x 0 cos(ωt +π ) =α 0 cos(ωt +π ), гдеα 0 =ω 2 x 0: - амплитудное значение ускорения.
Преобразование энергии при гармонических колебаниях
Если колебания тела происходят по закону x 0 sin(ωt + φ 0), токинетическая энергия тела равна :
.
Потенциальная энергия тела равна
:
.
Так как k
=mω
2 ,
то
.
За нулевой уровень отсчета потенциальной энергии выбирается положение равновесия тела (х = 0).
Полная механическая энергия системы
равна:
.
ОК-3 Кинематика гармонических колебаний
Фаза колебаний φ - физическая величина, которая стоит под знакомsinилиcosи определяет состояние системы в любой момент времени согласно уравнениюх =x 0 cosφ .
Смещение х тела в любой момент времени
x
=x
0 cos(ωt
+
φ
0),
гдеx
0 - амплитуда;φ
0 - начальная
фаза колебаний в начальный момент
времени (t
= 0), определяет
положение колеблющейся точки в начальный
момент времени.
Скорость и ускорение при гармонических колебаниях
Е
сли
тело совершает гармонические колебания
по законуx
=x
0 cosωt
вдоль осиОх
, то скорость движения
телаv x
определяется выражением
.
Более строго, скорость движения тела - производная координаты х по времениt :
v
x
=x
"
(t
)
= −xω
sinω
=x
0 ω
0 ω
cos(ωt
+π
/2).
Проекция ускорения: a x =v" x (t ) = −x 0 ω cosωt =x 0 ω 2 cos(ωt +π ),
v max =ωx 0 ,a max =ω 2 x .
Если φ 0 x = 0, тоφ 0 v =π /2,φ 0 a =π .
Резонанс
Р
Возрастание x 0 при резонансе тем больше, чем меньше трение в системе. Кривые1 ,2 ,3 соответствуют слабому, сильному критическому затуханию:F тр3 >F тр2 >F тр1 .
При малом трении резонанс острый, при
большом трении тупой. Амплитуда при
резонансе равна:
,
гдеF
max - амплитудное значение внешней силы;μ
- коэффициент трения.
Использование резонанса
Раскачивание качелей.
Машины для утрамбовки бетона.
Частотомеры.
Борьба с резонансом
Уменьшить резонанс можно, увеличив силу трения или
На мостах поезда движутся с определенной скоростью.
Земля, подставка и подвешенное к подставке тело
(см. рис. 3) образуют колебательную систему, называемую физическим маятником.
Стойки, две пружины и тело m (см. рис. 4) образуют колебательную систему, которую
обычно называют горизонтальным пружинным маятником. Всем колебательным системам
присущ ряд общих свойств. Рассмотрим главные из них.
1 У каждой колебательной системы есть состояние устойчивого равновесия. У физического маятника – это положение, в котором центр массы подвешенного тела находится на одной вертикали с точкой подвеса. У вертикального пружинного маятника – это положение, в котором сила тяжести уравновешивается силой упругости пружины. У горизонтального пружинного маятника – это положение, при котором обе пружины деформированы одинаково.
2 После того как колебательная система выведена из положения устойчивого равновесия, появляется сила, возвращающая систему в устойчивое положение. Происхождение этой силы может быть различным. Так, у физического маятника – это равнодействующая f силы тяжести G и силы упругости T (рис.5), а у пружинных маятников – это сила упругости пружин (рис. 6).
 |
3 Возвратившись в устойчивое состояние, колебательная система не может сразу остановиться. В механических колебательных системах этому мешает инертность колеблющегося тела. Перечисленные свойства приводят к тому, что если колебательную систему тем или иным способом вывести из состояния устойчивого равновесия, то в ней в отсутствие внешних сил возникнут и некоторое время будут сохраняться колебания. Возникшие колебания могли бы продолжаться неограниченно долго, если бы в колебательной системе не было трения (сопротивления). Именно такие, идеальные колебательные системы мы во многих случаях будем рассматривать. Идеальная колебательная система имеет два определяющих признака:
а) в ней отсутствует трение (сопротивление) и, следовательно, не происходит необратимых превращений энергии;
б) параметры такой колебательной системы (длина нити, масса колеблющегося тела, жесткость пружины) постоянны.
Примером идеальной колебательной системы может служить так называемый математический маятник, представляющий собой груз малых размеров, подвешенный на гибкой невесомой и нерастяжимой пружине. Длина нити и масса груза в процессе колебания маятника остаются неизменными. Если нить считать бесконечно тонкой и идеально гибкой, а размеры груза бесконечно малыми, точечными, то при колебаниях математического маятника трения не будет.
В реальных колебательных системах имеется трение, а параметры системы в процессе колебательного движения немного изменяются. Так, маятник, представляющий собой груз конечных размеров, подвешенный на шелковой нити, нельзя считать в полном смысле идеальной колебательной системой, так как в процессе его колебательного движения действует сопротивление воздуха и трение в точке подвеса, а длина нити изменяется (хотя и совсем незначительно). Но при малых колебаниях такого маятника сопротивление воздуха мало, а длина нити меняется столь незначительно, что с известным приближением можно этот маятник считать почти идеальной колебательной системой. Это относится также к пружинному маятнику. Его можно считать идеальной колебательной системой, если масса колеблющегося тела и жесткость пружины постоянны, а трение столь мало, что его можно не учитывать.
1 Свободные колебания. Колебания, происходящие в колебательной системе, не подверженной действию периодических внешних сил, называются свободными колебаниями. Для возникновения свободных колебаний на колебательную систему должно быть оказано из вне кратковременное воздействие, выводящее систему из состояния равновесия (отклонение из среднего положения маятника, зажатой в тисках стальной линейки, струны и т.п.).
2 Осциллограмма колебаний
.Если грузом маятника будет
служить сосуд с чернилами, в котором имеется узкое отверстие, то при колебаниях
маятника.
